题目

已知点P(0,b)是Y轴上的动点,点F(1,0),M(a,0)满足PM⊥PF,动点N满足:2向量PN+向量NM=0向量,
1.求动点N所在曲线C的方程.
2.已知点D(1,2)在曲线C上,若曲线C上两点A,B(都不同于D点)满足DA⊥DB,试证明直线AB必过定点,并求出这个定点的坐标.

提问时间：2020-10-28

答案

1,设N(x,y) 则向量PN=（x,y-b）,向量NM=（a-x,-y）
因为 2向量PN+向量NM=0
所以 2.(x,y-b)+(a-x,-y)=0
则 2x=a-x
2y-2b=-y
即 x=a/3,y=(2b)/3 ①
又因为PM⊥PF,PM=(a,-b),PF=(1,-b)
所以 （a,-b）.（1,-b）=0
a+b^2=0 ②
①,②联立,得y^2=4x/3