题目

在平面直角坐标系中,椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>c)圆O:x2+y2=a2,且过点A(a2/c,0)所作圆的两条切线互相垂直.
（1）求椭圆离心率（2）若直线y=2根号3与圆交于D.E与椭圆交于M,N,求椭圆方程（3）设T（0,3）在椭圆内部,若椭圆C上的点到P的最远距离不大于5根号2,求椭圆C的短轴长的取值范围

提问时间：2020-10-28

答案

：（Ⅰ）由条件：过点A（ a2c,0）作圆的两切线互相垂直,
∴OA= 2a,即：a2c= 2a,
∴e= 22．（3分）
（Ⅱ）∵e= 22,
∴a2=2c2,a2=2b2,
∴椭圆C：x22b2+y2b2=1．（5分）
{x2+y2=a2y=23得x2=a2-12,
∴DE=2 a2-12,
{x22b2+y2b2=1y=23得x2=2b2-24,
∴MN= 22b2-24,（7分）
由DE=2MN,得：a2-12=4（2b2-24）,
∴2b2-12=4（2b2-24）,
解得：b2=14,a2=28,
∴椭圆方程为：x228+y214=1．（9分）
（Ⅲ）∵点T（0,3）在椭圆内部,∴b＞3,
设P（x,y）为椭圆上任一点,则
PT2=x2+（y-3）2=2b2-2y2+（y-3）2
=-（y+3）2+2b2+18,其中,-b＜y＜b,（12分）
∵b＞3,∴-b＜-3,
∴当y=-3时,PT2的最大值2b2+18．（14分）
依题意：PT≤5 2,∴PT2≤50,
∴2b2+18≤50,∴0＜b≤4,
又∵b＞3,∴3＜b≤4,即6＜2b≤8,
∴椭圆C的短轴长的取值范围6＜b≤8．（16分）