题目
已知抛物线y=x2-2x+a与直线y=x+1有两个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),且x2>x1≥0.
(1)求抛物线的对称轴,并在所给坐标系中画出对称轴和直线y=x+1;
(2)试求a的取值范围;
(3)若AE⊥x,E为垂足,BF⊥x轴,F为垂足,试求S梯形ABFE的最大值.
(1)求抛物线的对称轴,并在所给坐标系中画出对称轴和直线y=x+1;
(2)试求a的取值范围;
(3)若AE⊥x,E为垂足,BF⊥x轴,F为垂足,试求S梯形ABFE的最大值.
提问时间:2020-10-27
答案
(1)对称轴x=1,
(2)方程组
消去y,
得x2-3x+a-1=0.
由题意可知x1,x2是方程x2-3x+a-1=0的两个不相等的根,
∴x1+x2=3,x1•x2=a-1,
∵x2>x1≥0,
∴x1•x2≥0,
得a-1≥0,a≥1,
又△=13-4a>0,
∴a<
,
故1≤a<
.
(3)∵点A,B在直线y=x+1上,
∴y1=x1+1,y2=x2+1,
∴S梯形ABFE=
(AE+BF)×EF,
=
(y1+y2)(x2-x1)=
(x1+x2+2)
=
∵1≤a<
,
∴a=1时,S梯形ABFE取最大值
.
(2)方程组
|
得x2-3x+a-1=0.
由题意可知x1,x2是方程x2-3x+a-1=0的两个不相等的根,
∴x1+x2=3,x1•x2=a-1,
∵x2>x1≥0,
∴x1•x2≥0,
得a-1≥0,a≥1,
又△=13-4a>0,
∴a<
13 |
4 |
故1≤a<
13 |
4 |
(3)∵点A,B在直线y=x+1上,
∴y1=x1+1,y2=x2+1,
∴S梯形ABFE=
1 |
2 |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
(x1+x2)2−4x1x2 |
5 |
2 |
13−4a |
∵1≤a<
13 |
4 |
∴a=1时,S梯形ABFE取最大值
15 |
2 |
(1)根据抛物线的对称轴方程x=-
即可求出对称轴的解析式.
(2)由于抛物线与直线y=x+1有两个不同的交点,可联立两个函数的解析式,可得出一个关于x的一元二次方程,由于x1,x2均不为负数,因此两根的积大于等于0,由此可求出a的取值范围.
(3)可先用A、B的横坐标和纵坐标表示出梯形的面积,然后根据直线y=x+1的解析式将各点的纵坐标替换掉,然后依据韦达定理和a的取值范围即可求出梯形的最大面积.
b |
2a |
(2)由于抛物线与直线y=x+1有两个不同的交点,可联立两个函数的解析式,可得出一个关于x的一元二次方程,由于x1,x2均不为负数,因此两根的积大于等于0,由此可求出a的取值范围.
(3)可先用A、B的横坐标和纵坐标表示出梯形的面积,然后根据直线y=x+1的解析式将各点的纵坐标替换掉,然后依据韦达定理和a的取值范围即可求出梯形的最大面积.
二次函数综合题.
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,函数图象的交点,图形面积的求法等知识.
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