题目

思想之翼:一千的阶乘"1000!"算出来有多少个零?

提问时间：2020-10-11

答案

249个
公式：
当0 < n < 5时,f(n!) = 0;
当n >= 5时,f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）
f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249
详细过程：
问题描述
给定参数n（n为正整数）,请计算n的阶乘n!末尾所含有“0”的个数.
例如,5!=120,其末尾所含有的“0”的个数为1；10!= 3628800,其末尾所含有的“0”的个数为2；20!= 2432902008176640000,其末尾所含有的“0”的个数为4.

计算公式
这里先给出其计算公式,后面给出推导过程.
令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数,则有：
当0 < n < 5时,f(n!) = 0;
当n >= 5时,f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）.

问题分析
显然,对于阶乘这个大数,我们不可能将其结果计算出来,再统计其末尾所含有的“0”的个数.所以必须从其数字特征进行分析.下面我们从因式分解的角度切入分析.

我们先考虑一般的情形.对于任意一个正整数,若对其进行因式分解,那么其末尾的“0”必可以分解为2*5.在这里,每一个“0”必然和一个因子“5”相对应.但请注意,一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”,因为还需要一个因子“2”,才能实现其一一对应.

我们再回到原先的问题.这里先给出一个结论：
结论1： 对于n的阶乘n!,其因式分解中,如果存在一个因子“5”,那么它必然对应着n!末尾的一个“0”.
下面对这个结论进行证明：
(1)当n < 5时, 结论显然成立.
(2)当n >= 5时,令n!= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a,其中 n = 5k + r (0