题目

f（x+13/42）+f(x)=f(x+6)+f(x+1/7) f（x）为有界实函数证明f（x）为周期函数

提问时间：2020-10-27

答案

目测题目打错了,应该是f(x+13/42)+f(x) = f(x+1/6)+f(x+1/7).
设g(x) = f(x+1/7)-f(x),则g(x+1/6) = f(x+13/42)-f(x+1/6) = f(x+1/7)-f(x) = g(x),即1/6是g(x)的周期.
设h(x) = f(x+1)-f(x) = (f(x+1)-f(x+6/7))+...+(f(x+1/7)-f(x)) = g(x+6/7)+...+g(x).
则1/6也是h(x)的周期,于是1也是h(x)的周期.
断言h(x)恒等于0.若不然,设h(a) = b ≠ 0,则对任意整数k,有h(a+k) = h(a) = b.
于是f(a+k)-f(a) = h(a+k-1)+h(a+k-2)+...+h(a) = kb,绝对值可以任意大,与f(x)有界矛盾.
因此我们得到f(x+1)-f(x) = h(x) = 0,即1是f(x)的周期.