题目

已知点G是三角形ABC重心,若角A=120度,向量ABX向量AC=-2,则|向量AG|的最小值为?

提问时间：2020-10-26

答案

答案：|向量AG|的最小值=2/3
在△ABC中,延长AG交BC于点D,
因为,点G是三角形ABC重心
所以,AD是BC边上的中线,且 AG=2AD/3
因为,向量ABX向量AC=|向量AB|X|向量AC|Xcos120°=-2
所以,|向量AB|X|向量AC|=4
因为,向量AG=(2倍向量AD)/3,2倍向量AD= 向量AB+向量AC
所以,向量AG=(向量AB+向量AC)/3
所以,(向量AG)²=[(向量AB+向量AC)/3]²
=(1/9)*[|向量AB|²+2X向量ABX向量AC+|向量AC|²] （利用不等式：a²+b²》2ab）
》(1/9)[2X|向量AB|X|向量AC|+2X(-2)]=4/9,
即：(向量AG)²》4/9
所以,|向量AG|》2/3 即：|向量AG|的最小值=2/3