题目

两个数列{an}和{bn}满足bn=(a1+2a2+3a3…+nan)/(1+2+3+…+n)(n∈N*）.1+2+3+…n=（n（n+1)）/2
（1）若数列{bn}是等差数列,求证：{an}也是等差数列;
（2）若数列{an}是等差数列,求证：{bn}也是等差数列.

提问时间：2020-10-26

答案

bn=(a1+2a2+3a3…+nan)/(1+2+3+…+n) ;
1+2+3+…n=（n（n+1)）/2;
bn=2(a1+2a2+3a3…+nan)/n*(n+1)
b1=a1
b2=2(a1+2a2)/2*3=(a1+2a2)/3,b2-b1=2/3*(a2-a1)=2/3 *公差q；
b3=2（a1+2a2+3a3）/12=（a1+2a2+3a3）/6,b3-b2=2/3 *公差q；
所以,如果
若数列{an}是等差数列,假设公差为q,{bn}也是等差数列,公差为2/3 *公差q；
同理可证,如数列{bn}是等差数列,{an}也是等差数列