题目

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N+
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{bn}满足an(--1)=1,并记Tn为{bn}的前n项和,求证：3Tn+1>log2(an+3),n∈N+.
(2)中为满足an(2^bn-1)=1

提问时间：2020-10-25

答案

(I)由a1=S1=-(a1+1)(a1+2),解得a1=1或a1=2,
由假设a1=S1>1,因此a1=2,
又由an+1=Sn+1-Sn=-(an+1+1)(an+1+2)--(an+1)(an+2),
得(an+1+an)(an+1-an-3)=0,
即an+1-an-3=0或an+1=-an,因an>0,故an+1=-an不成立,舍去.
因此an+1-an=3,从而{an}是公差为3,首项为2的等差数列,
故{an}的通项为an=3n-1.
(II)证明：用比较法.由an(--1)=1可解得
bn=log2(1+-)=log2-；
从而Tn=b1+b2+……+bn=log2(-·■……-).
因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(-·■……-)3·■.
令f(n)=(-·■……-)3·■,
则-=-·（-)3=-.
因(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0,故f(n+1)>f(n).