题目

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B，则实数k的取值范围为（　　）
A. −2＜k＜−

2

B. -2＜k＜2
C. k²＜4且k²≠2
D. -2＜k＜0且k≠−

2

提问时间：2020-10-25

答案

将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，
整理得（k²-2）x²+2kx+2=0．
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
设两个交点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∵（x₁，y₁），（x₂，y₂）都在双曲线C的右支，
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴x1+x2＝−

2k

k2−2

＞0，
x1x2＝

2

k2−2

＞0，
故

k2−2≠0 △＝(2k)2−8(k2−2)＞0 − 2k k2−2 ＞0 2 k2−2 ＞0.

解得k的取值范围是-2＜k＜−

2

．
故选A．

将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，由题意知

k2−2≠0 △＝(2k)2−8(k2−2)＞0 − 2k k2−2 ＞0 2 k2−2 ＞0.

，由此能求出实数k的取值范围．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，是基础题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．