题目

已知f（x）是定义域在R上的函数,若对任意X1,X2属于R,都有f（（X1+X2）/2）小于等于（f（X1）+f（X2））/2成立,则称f（x）为R上的凹函数,设二次函数f（x）=ax^2+x （a属于R,且a不等于0）,求证当a大于0时,函数f（x）为R上的凹函数

提问时间：2020-10-25

答案

∵f（（X1+X2）/2）=a[(x1+x2)/2]^2+(x1+x2)/2,（f（X1）+f（X2））/2=[(ax1)^2+x1+a(x2)^2+x2]/2,∴两式相减并整理等于-a（x1-x2）^2,该式小于等于0恒成立,∴f（（X1+X2）/2）≤（f（X1）+f（X2））/2,∴函数f（x）为R上的凹函数.
本题应用了作差与零比较,从而确定两式的大小.（作差比较法）