题目

泰勒级数：一个函数用泰勒级数展开后,结果在展了几阶以后导数为0了,
一般的一个函数不都是能用泰勒级数无穷的展开吗?展到中间间断了是怎么回事呢?是已经完全精确近似了吗?还是说明中间出了什么问题?

提问时间：2020-10-25

答案

f(x)=f(x0)+f`( x0)(x- x0)+.
这里要把一个函数展开成泰勒级数到某一级,是需要有f(x)在该级上有导数存在,而你所说的展开到中间断了,是因为在之后该函数的更高阶导数在这一点的值0,所以更高项的展开就为0了,没必要再展开了
如f(x) = x 有一价导数为1,更高阶的导数,如二阶,三阶等都等于0了,所以它的更高项展开值也是为0：
f(x)=x在x =0处展开的话就是f(x) = f(0) + f'(0)*(x-0) + f''(0)(x-0)^2/2 + .
= 0 + x + 0..
= x
如果要在x = 1展开则是
f(x) = f(1) + f'(1)(x-1)+ .(这更高阶的展开全为0)
= 1 +( x - 1)
= x
从上面可以看出f(x)= x的泰勒展开并不是说展开到第二项就断了,而是后面的项都为0,也可以按你说的已经是和原式一模一样的,已经不是精确的问题,而是完全等价
你可以试一下其它的函数,结果都是这样,除了像三角函数这种可以有无穷高阶导数不为0的函数才会有无穷项的泰勒展开