题目

对于0≤m≤4的m，不等式x²+mx＞4x+m-3恒成立，则x的取值范围是______．

提问时间：2020-10-25

答案

若不等式x²+mx＞4x+m-3恒成立
则m（x-1）+x²-4x+3＞0在0≤m≤4时恒成立．
令f（m）=m（x-1）+x²-4x+3．
则

f(0)＞0 f(4)＞0

⇒

x2−4x+3＞0 x2−1＞0

⇒

x＜1或x＞3 x＜−1或x＞1.

∴x＜-1或x＞3．
故答案为：x＞3或x＜-1

由对于0≤m≤4的m，不等式x²+mx＞4x+m-3恒成立，可变形为m（x-1）+x²-4x+3＞0在0≤m≤4时恒成立．由于该函数为关于m的一次函数估可转化为

f(0)＞0 f(4)＞0

，即

x2−4x+3＞0 x2−1＞0

，解不等式组，即可得到结论．

本题考点：函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．

考点点评：解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解．