题目

已知函数f(x)＝sin(x+θ)+

3

cos(x−θ)为偶函数，求θ的值．

提问时间：2020-10-25

答案

f（x）为偶函数，则
f（x）-f（-x）=0  （即恒等于0）
⇒sin（x+θ）+

3

cos（x-θ）+sin（x-θ）-

3

cos（x+θ）=0
⇒sin（x+θ-

π

3

）+sin（x-θ+

π

3

）=0
⇒2sinxcos（θ-

π

3

）=0
⇒cos（θ-

π

3

）=0
⇒θ=kπ+

π

2

+

π

3

（k∈Z）
又因θ∈（0，π），
所以必须k=0，从而θ=

π

2

+

π

3

=

5π

6

利用函数是偶函数，f（x）-f（-x）=0，即sin（x+θ）+

3

cos（x-θ）+sin（x-θ）-

3

cos（x+θ）=0恒成立，化简可以求出θ的值．

本题考点：正弦函数的奇偶性；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．

考点点评：本题考查正弦函数的奇偶性，两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．