题目

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，{b_n}是等比数列，其中a₁=3，b₁=1，a₂=b₂，3a₅=b₃，若存在常数u，v对任意正整数n都有a_n=3log_ub_n+v，则u+v=______．

提问时间：2020-10-24

答案

设{a_n}的公差为d，，{b_n}的公比为q，
∵a₁=3，b₁=1，a₂=b₂，3a₅=b₃，
∴a₂=3+d=q=b₂，
3a₅=3（3+4d）=q²=b₃，
解方程得q=3，或q=9，
当q=3时，d=0，不符合题意，故舍去；
当q=9时，d=6．
a_n=3+（n-1）×6=6n-3，b_n=q^n-1=9^n-1．
∵a_n=3log_ub_n+v=logu(93n−3)+v，
∴6n-3-v=logu(93n−3)，
当n=1时，3-v=log_u1=0，
∴v=3．
当n=2时，12-3-3=logu93，
u⁶=9³，u=3，
∴u+v=6．
故答案为：6．