题目

关于x的不等式|x−

(a+1)2

2

|≤

(a−1)2

2

与x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0（a∈R）的解集分别是A和B，求使A⊆B的a的取值范围．

提问时间：2020-10-24

答案

由关于x的不等式|x−

(a+1)2

2

|≤

(a−1)2

2

，
可得-

(a−1)2

2

≤x-

(a+1)2

2

≤

(a−1)2

2

，
解得 2a≤x≤a²+1，
∴A=[2a，a²+1]．
解不等式x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0可得，
（x-2）[x-（3a+1）]≤0，
∴B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}，
由A⊆B，如图所示：
可得

2≤2a a2+1≤3a+1

，或 

3a+1≤2a a2+1≤2

．
解得 1≤a≤3，或 a=-1，故a的取值范围为 {a|1≤a≤3，或 a=-1 }．

解绝对值不等式求得A=[2a，a²+1]，解一元二次不等式求得B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}，由A⊆B，可得

2≤2a a2+1≤3a+1

，或

3a+1≤2a a2+1≤2

．分别求得这两个
不等式组的解集，再取并集，即得所求．

本题考点：其他不等式的解法；集合关系中的参数取值问题；一元二次不等式的解法．

考点点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．