题目

设A是N阶实矩阵,证明：若AA‘=0则A=0

提问时间：2020-10-23

答案

令B = A',则 B'B = 0
所以对任意 n维列向量x 都有
x'B'Bx = 0
即有 (Bx)'Bx = 0.
所以 Bx = 0
取 ei = (0,...,0,1,0,...,0)',第i个分量等于其余为0的n维向量.i=1,2,...,n
则 Bei = 0.
而 Bei 等于 B 的第i列构成的列向量.i=1,2,...,n
所以 B = 0.
故 A = 0