题目

已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2020-10-23

答案

由f′（x）=a（x+1）（x-a）=0，
解得a=0或x=-1或x=a，
若a=0，则f′（x）=0，此时函数f（x）为常数，没有极值，故a≠0．
若a=-1，则f′（x）=-（x+1）²≤0，此时函数f（x）单调递减，没有极值，故a≠-1．
若a＜-1，由f′（x）=a（x+1）（x-a）＞0得a＜x＜-1此时函数单调递增，
由f′（x）=a（x+1）（x-a）＜0得x＜a或x＞-1此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．
若-1＜a＜0，由f′（x）=a（x+1）（x-a）＞0得-1＜x＜a此时函数单调递增，
由f′（x）=a（x+1）（x-a）＜0得x＜-1或x＞a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极大值，不满足条件．
若a＞0，由f′（x）=a（x+1）（x-a）＞0得x＜-1或x＞a此时函数单调递增，
由f′（x）=a（x+1）（x-a）＜0得-1＜x＜a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．
综上：a＜-1或a＞0，
故答案为：a＜-1或a＞0