题目

gram行列式
m个向量线性相关当且仅当相应的Gram行列式=0

提问时间：2020-10-23

答案

对于向量e_1,...,e_m, 相应的Gram矩阵为G.
任取列向量c=[c_1,...,c_m]^T, 有
c^H*G*c=||c_1e_1+...+c_me_m||^2>=0,
所以G半正定.
若G奇异则取非零向量c使得Gc=0, 可得e_i线性相关.
若e_i线性相关则取c使得c_1e_1+...+c_me_m=0, 那么c^H*G*c=0, 得到G不是正定的, 所以奇异.