题目

（易错题）如图，△ABC和△A′B′C′中，AC=A′C′=3，BC=B′C′=4，AB=A′B′=5，将顶点C′与C重合，△A′B′C′绕着点C旋转，旋转过程中，A′C′交AB于点E，A′B′交AB于点F，交BC于点D．

（1）当A′C′⊥AB时，判断△C′DB′和△A′C′D的形状；
（2）当△ACE为等腰三角形时，求出此时AE的值．

提问时间：2020-10-23

答案

（1）∵32+42=52，∴△ABC，△A′B′C′都是直角三角形，且△ABC≌△A′B′C′．∴∠B=∠B′．当A′C′⊥AB时，由旋转可知∠ACE=∠B′CB，由互余关系可得∠ACE=∠B，∴∠BCB'=∠B′，∴∠BCB'=∠B，∴△C′DB′是等...

（1）首先运用勾股定理的逆定理证明△ABC，△A'B'C'都是直角三角形，然后证明当A′C′⊥AB时，∠ACE=∠B，而由∠B=∠B'，得出∠BCB'=∠B'，从而证明△C′DB′是等腰三角形．同理得出△A′C′D也是等腰三角形．
（2）当△ACE为等腰三角形时，有三种可能：AE=AC；AE=EC；AC=CE．需要分类求解．

本题考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．

考点点评：本题主要考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要学会运用勾股定理解决直角三角形中的线段问题．