题目

关于x的方程x²-(k+8)+8k-1=0有两个整数根,则整数k=
打错了，是x²-(k+8)x+8k-1=0

提问时间：2020-10-22

答案

设方程的两个整数根分别为 m、n ,
由于判别式 (k+8)^2-4(8k-1)=(k-8)^2+4>0 ,方程恒有实根,
因此由二次方程根与系数的关系得 m+n=k+8 ,mn=8k-1 ,
所以 mn=8k-1=8(m+n-8)-1,
化为 (m-8)(n-8)= -1 ,
由于 m、n、k 均为整数,因此 m-8=1 ,n-8= -1 或 m-8= -1 ,n-8=1 ,
解得 m=7 ,n=9 或 m=9 ,n=7 ,
两种情况下都有 k=m+n-8=8 .