题目

求函数f(x)=x^2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)（n>=3）
答案解析是把ln(1+x)进行泰勒展开代入原式得f(x)=x^2[x-x^2/2+...+ (-1)^(n-1) (x^(n-2))/(n-2)+0(x^(n-1))]
=x^3-(x^4)/2+...+(-1)^(n-1) (x^n)/(n-2) +o(x^n)令f(n)(0)/n!=(-1)^(n-1) 1/(n-2),f(n)(0)=n!(-1)^(n-1) /(n-2)
在ln(1+x)泰勒展开中为什么要展开到第n-2项,而且（-1）的系数为什么不是n-3而是n-1
在ln(1+x)泰勒展开中展开到第n-2项是因为前面有x^2,要使
f(x)凑出x^n吗？

提问时间：2020-10-22

答案

你说的正确,求f(x)的n阶导数时需要知道泰勒展开的n次项的系数,因为前面有x^2,后面就展开到n-2次以凑出x^n.另外(-1)^(n-3)=(-1)^(n-1),两写法没什么不同.
这个题也可以用求高阶导数的牛顿莱布尼兹公式计算（即乘积uv的n阶导数公式计算）.