题目
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,AC交BD于点O,求证A1O⊥平面MBD
提问时间:2020-10-22
答案
证明:过O点作ON//BC交CD边于N点;
由题意知O为BD的中点,所以N为CD边的中点(根据三角形中位线定理判定);
连接D1N,D1N与DM相交于H点;
因为ON//BC,BC//A1D1;
所以ON//A1D1;
所以A1、D1、N、O四个点组成平面A1D1NO;
因为N为CD的中点,M为CC1的中点,容易证得三角形DND1全等于三角形CDM;
所以角CDM=角DD1N;
因为角DD1N+角DND1=90°;
所以角CDM+角DND1=90°;
即角NHD=90°;
所以DM⊥D1N;
因为A1D1⊥平面DCC1D1,DM为平面DCC1D1内的一条直线;
所以A1D1⊥DM;
因为直线D1N与直线A1D1相交,且均位于平面A1D1NO内,由此可知直线DM⊥平面A1D1NO;
又因为A1O为平面A1D1NO内的一条直线,所以DM⊥A1O(证得我们的第一个条件);
连接直线A1B,直线A1D;
因为它们分别是正方形AA1D1D与正方形ABB1A1的对角线,而这两个正方形又是相等的,所以A1B=A1D;
所以三角形A1DB为等腰三角形;
又因为A1O为BD边的中线,所以A1O⊥BD(等腰三角形三线合一);
所以我们证得A1O⊥DM,A1O⊥BD;
因为DM与BD相交,且均位于平面BDM立面,由此可知,A1O⊥平面BDM
由题意知O为BD的中点,所以N为CD边的中点(根据三角形中位线定理判定);
连接D1N,D1N与DM相交于H点;
因为ON//BC,BC//A1D1;
所以ON//A1D1;
所以A1、D1、N、O四个点组成平面A1D1NO;
因为N为CD的中点,M为CC1的中点,容易证得三角形DND1全等于三角形CDM;
所以角CDM=角DD1N;
因为角DD1N+角DND1=90°;
所以角CDM+角DND1=90°;
即角NHD=90°;
所以DM⊥D1N;
因为A1D1⊥平面DCC1D1,DM为平面DCC1D1内的一条直线;
所以A1D1⊥DM;
因为直线D1N与直线A1D1相交,且均位于平面A1D1NO内,由此可知直线DM⊥平面A1D1NO;
又因为A1O为平面A1D1NO内的一条直线,所以DM⊥A1O(证得我们的第一个条件);
连接直线A1B,直线A1D;
因为它们分别是正方形AA1D1D与正方形ABB1A1的对角线,而这两个正方形又是相等的,所以A1B=A1D;
所以三角形A1DB为等腰三角形;
又因为A1O为BD边的中线,所以A1O⊥BD(等腰三角形三线合一);
所以我们证得A1O⊥DM,A1O⊥BD;
因为DM与BD相交,且均位于平面BDM立面,由此可知,A1O⊥平面BDM
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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英语翻译
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