题目
如图,B为线段AD上一点,△ABC和△BDE都是等边三角形,连接CE并延长交AD的延长线于点F,△ABC的外接圆⊙O交CF于点M.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=CM•CF;
(3)若CM=
,MF=
,求BD;
(4)若过点D作DG∥BE交EF于点G,过G作GH∥DE交DF于点H,则易知△DGH是等边三角形.设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S1、S2、S3,试探究S1、S2、S3之间的等量关系,请直接写出其结论.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=CM•CF;
(3)若CM=
2
| ||
7 |
12
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7 |
(4)若过点D作DG∥BE交EF于点G,过G作GH∥DE交DF于点H,则易知△DGH是等边三角形.设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S1、S2、S3,试探究S1、S2、S3之间的等量关系,请直接写出其结论.
提问时间:2020-10-22
答案
(1)证明:连接OB
∵△ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC=AC,∠CAB=∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°(1分)
∵∠CBE=180°-60°-60°=60°
∴∠OBE=30°+60°=90°即OB⊥BE(2分)
∴BE是⊙O的切线;(3分)
(2)证明:连接AM,则∠AMC=∠ABC=∠CAF=60°(4分)
∵∠ACM=∠FCA
∴△ACM∽△FCA(5分)
∴
=
∴AC2=CM•CF;(6分)
(3) ∵AC2=CM•CF
∴AC=2(7分)
设FB=x
∵FB•FA=FM•FC
∴x(x+2)=
•2
∴x=4,x=-6(舍去)
∴FB=4(8分)
∵EB∥AC
∴
=
∴
=
(9分)
∴BE=
∴BD=
;(10分)
(4) S22=S1•S3或
=
(12分).
∵△ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC=AC,∠CAB=∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°(1分)
∵∠CBE=180°-60°-60°=60°
∴∠OBE=30°+60°=90°即OB⊥BE(2分)
∴BE是⊙O的切线;(3分)
(2)证明:连接AM,则∠AMC=∠ABC=∠CAF=60°(4分)
∵∠ACM=∠FCA
∴△ACM∽△FCA(5分)
∴
AC |
CF |
CM |
AC |
∴AC2=CM•CF;(6分)
(3) ∵AC2=CM•CF
∴AC=2(7分)
设FB=x
∵FB•FA=FM•FC
∴x(x+2)=
12
| ||
7 |
7 |
∴x=4,x=-6(舍去)
∴FB=4(8分)
∵EB∥AC
∴
BE |
AC |
FB |
FA |
∴
BE |
2 |
4 |
6 |
∴BE=
4 |
3 |
∴BD=
4 |
3 |
(4) S22=S1•S3或
S1 |
S2 |
S2 |
S3 |
(1)连接OB,证明∠OBE=90°即可;
(2)欲证AC2=CM•CF,即证AC:CF=CM:AC,连接AM,通过证明△ACM∽△FCA可以得出;
(3)由(2)的结论先求出AC的长,再根据割线定理得出FB•FA=FM•FC,求出FB,再由EB∥AC得出BE:AC=FB:FA,求出BE,得出BD的长;
(4)探究S1、S2、S3之间的等量关系,可以先证明△DGH∽△BDE∽△ABC,得出DH:DB=DB:AB,根据面积比是相似比的平方得出S22=S1•S3或
=
.
(2)欲证AC2=CM•CF,即证AC:CF=CM:AC,连接AM,通过证明△ACM∽△FCA可以得出;
(3)由(2)的结论先求出AC的长,再根据割线定理得出FB•FA=FM•FC,求出FB,再由EB∥AC得出BE:AC=FB:FA,求出BE,得出BD的长;
(4)探究S1、S2、S3之间的等量关系,可以先证明△DGH∽△BDE∽△ABC,得出DH:DB=DB:AB,根据面积比是相似比的平方得出S22=S1•S3或
S1 |
S2 |
S2 |
S3 |
["\u5207\u7ebf\u7684\u5224\u5b9a","\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u6027\u8d28","\u5207\u5272\u7ebf\u5b9a\u7406","\u5e73\u884c\u7ebf\u5206\u7ebf\u6bb5\u6210\u6bd4\u4f8b","\u76f8\u4f3c\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5224\u5b9a\u4e0e\u6027\u8d28"]
考查了切线的判定及有关性质,相似三角形的判定和性质,综合性较强,有一定的难度.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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