题目

如图,抛物线y=ax平方+bx+c关于直线x=1对称,与坐标轴交于点A,B,C三点,且AB=4,

提问时间：2020-10-22

答案

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因为抛物线关于直线x=1对称,AB=4,所以A（-1,0）,B（3,0）,
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）,
∵点D（2,3 /2）在抛物线上,
∴3/2/=a×3×（-1）,解得a=−1/2,∴抛物线解析式为：y=−1/2/（x+1）（x-3）=−1/2x2+x+3/2．
（2）抛物线解析式为：y=−1/2/x2+x+32,令x=0,得y=3/2,
∴C（0,3/2）,∵D（2,3/2）,∴CD∥OB,直线CD解析式为y=3/
2．直线l解析式为y=kx-2,令y=0,得x=2/k/；令y=3/2/,得x=7/2k/
设直线l分别与OB、CD交于点E、F,则E（2/k/,0）,F（7/2k,3/2）,
OE=2/k,BE=3-2/k,CF=7/2k,DF=2-7/2k．
∵直线l平分四边形OBDC的面积,
∴S梯形OEFC=S梯形FDBE,
∴1/2/（OE+CF）•OC=1/2/（FD+BE）•OC,
∴OE+CF=FD+BE,即：2/k/+7/2k=（3-2/k/）+（2-7/2k/）,
解方程得：k=11/5/,经检验k=11/5
是原方程的解且符合题意,∴k=11/5．
（3）假设存在符合题意的点P,其坐标为（0,t）．
抛物线解析式为：y=−1/2x2+x+3/2=−1/2/（x-1）2+2,
把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线解析式为：y=−1/2/x2．
依题意画出图形,如答图2所示,过点M作MD⊥y轴于点D,NE⊥y轴于点E,
设M（xm,ym）,N（xn,yn）,则MD=-xm,PD=t-ym；NE=xn,PE=t-yn．
∵直线PM与PN关于y轴对称,∴∠MPD=∠NPE,
又∠MDP=∠NEP=90°,
∴Rt△PMD∽Rt△PNE,
∴MD/NE/＝PD/PE/,即−xm/xn/＝t−ym/t−yn/
①,∵点M、N在直线y=kx-2上,∴ym=kxm-2,yn=kxn-2,
代入①式化简得：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn ②
把y=kx-2代入y=−1/2/x2．,整理得：x2+2kx-4=0,
∴xm+xn=-2k,xmxn=-4,代入②式解得：t=2,符合条件．
所以在y轴正半轴上存在一个定点P（0,2）,使得不论k取何值,直线PM与PN总是关于y轴对称