题目
从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
提问时间:2020-10-21
答案
首先,如下61个数:11,11+33,11+2×33,11+60×33(即1991)满足题设条件,
另一方面,设a1<a2<an是从1,2,2010中取出的满足题设条件的数,
对于这n个数中的任意4个数ai,aj,ak,am,因为33|(ai+ak+am),33|(aj+ak+am),
所以33|(aj-ai),
∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数,
设ai=a1+33di,i=1,2,3,n,
由33|(a1+a2+a3),得33|(3a1+33d2+33d3),
所以33|3a1,11|a1,即a1≥11,dn=
≤
<61,
故dn≤60,所以n≤61,
综上所述,n的最大值为61.
另一方面,设a1<a2<an是从1,2,2010中取出的满足题设条件的数,
对于这n个数中的任意4个数ai,aj,ak,am,因为33|(ai+ak+am),33|(aj+ak+am),
所以33|(aj-ai),
∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数,
设ai=a1+33di,i=1,2,3,n,
由33|(a1+a2+a3),得33|(3a1+33d2+33d3),
所以33|3a1,11|a1,即a1≥11,dn=
an−a1 |
33 |
2010−11 |
33 |
故dn≤60,所以n≤61,
综上所述,n的最大值为61.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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