题目

设a=（1，0，-1）^T，矩阵A=aa^T，n为正整数，则|aE-Aⁿ|= ___ ．

提问时间：2020-10-20

答案

因为A满足：A²=2A
因此A的三个特征值为λ₁=λ₂=0，λ₃=2
由于三根之和等于A的对角线上的三个因素之和，
从而aE-Aⁿ的三个特征值为：a-λⁿ，即a，a，a-2ⁿ，
故有

.

aE-An

.

=a•a•(a-2n)=a2(a-2n)
故答案为：a²（a-2ⁿ）．

分别求出矩阵的三个特征值，利用三根之和等于A的对角线上的三个因素之和这个结果，即可解出．

本题考点：矩阵的特征值和特征向量的性质．

考点点评：本题除了利用矩阵的特征值外，还可以利用矩阵的乘法解答．