题目
已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值及函数表达式f(x).
提问时间:2020-10-20
答案
解∵f(x)=-4(x−
)2-4a,此抛物线顶点为(
,−4a).
当
≥1,即a≥2时,f(x)取最大值-4-a2.令-4-a2=-5,得a2=1,a=±1<2(舍去).
当0<
<1,即0<a<2时,x=
时,f(x)取最大值为-4a,令-4a=-5,得a=
∈(0,2).
当
≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]内递减,∴x=0时,f(x)取最大值为-4a-a2,
令-4a-a2=-5,得a2+4a2-5=0,解得a=-5,或a=1,其中-5∈(-∞,0].
综上所述,a=
或a=-5时,f(x)在[0,1]内有最大值-5.
∴f(x)=-4x2+5x-
或f(x)=-4x2-20x-5.
a |
2 |
a |
2 |
当
a |
2 |
当0<
a |
2 |
a |
2 |
5 |
4 |
当
a |
2 |
令-4a-a2=-5,得a2+4a2-5=0,解得a=-5,或a=1,其中-5∈(-∞,0].
综上所述,a=
5 |
4 |
∴f(x)=-4x2+5x-
25 |
16 |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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