题目
已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−
]∪[
,+∞)
B. [−
,
]
C. (−∞,−
)∪(
,+∞)
D. (−
,
)
A. (−∞,−
3 |
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B. [−
3 |
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C. (−∞,−
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D. (−
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提问时间:2020-10-19
答案
由f(x)=-x3+ax2-x-1,得到f′(x)=-3x2+2ax-1,
因为函数在(-∞,+∞)上是单调函数,
所以f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)恒成立,
则△=4a2−12≤0⇒−
≤a≤
,
所以实数a的取值范围是:[-
,
].
故选B
因为函数在(-∞,+∞)上是单调函数,
所以f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)恒成立,
则△=4a2−12≤0⇒−
3 |
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所以实数a的取值范围是:[-
3 |
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故选B
由f(x)的解析式求出导函数,导函数为开口向下的抛物线,因为函数在R上为单调函数,所以导函数与x轴没有交点,即△小于等于0,列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围.
利用导数研究函数的单调性.
此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间,掌握函数恒成立时所取的条件,是一道综合题.
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