题目

设a≥0，若y=cos²x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求y的最大、最小值及相应的x值．

提问时间：2020-10-19

答案

原函数变形为y=-(sinx+

a

2

)2+

a2

4

+b+1，
∵-1≤sinx≤1，a≥0
∴若0≤a≤2，当sinx=-

a

2

时
y_max=1+b+

a2

4

=0 ①
当sinx=1时，y_min=-(1+

a

2

)2+1+b+

a2

4

=-a+b=-4 ②
联立①②式解得a=2，b=-2，
y取得最大、小值时的x值分别为：
x=2kπ-

π

2

（k∈Z），x=2kπ+

π

2

（k∈Z）
若a＞2时，

a

2

∈（1，+∞）
∴y_max=-(1−

a

2

)2+1+b+

a2

4

＝a+b=0  ③
y_min=-(1+

a

2

)2+1+b+

a2

4

＝−a+b＝−4④
由③④得a=2时，而

a

2

=1（舍去），
故只有一组解a=2，b=-2