题目

已知函数f（x）=m（x+

1

x

）的图象与函数h（x）=

1

4

（x+

1

x

）+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求m的值；
（2）若g（x）=f（x）+

a

4x

在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-10-19

答案

（1）由h（1）=

5

2

得，（1，

5

2

）关于（0，1）的对称点（-1，-

1

2

）在函数f（x）=m（x+

1

x

）的图象上，
故-

1

2

=-2m，
解得，m=

1

4

；
（2）g（x）=

1

4

（x+

1

x

）+

a

4x

=

x2+1+a

4x

=

x

4

+

1+a

4x

，
故1+a＞0，

1+a

≥2，
解得a≥3．

（1）由题意，h（1）=

5

2

，从而可得（1，

5

2

）关于（0，1）的对称点（-1，-

1

2

）在函数f（x）=m（x+

1

x

）的图象上，从而求m；
（2）由对勾函数的单调性求实数a的取值范围．

本题考点：A:函数的图象与图象变化 B:函数单调性的判断与证明

考点点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．