题目
已知△ABC,AB边中点为D,E、F分别在AC、BC边上运动,求证:S△DEF≤S△ADE+S△BDF.
提问时间:2020-10-18
答案
证明:过点B作BG∥AC,交ED的延长线与点G,连接GF,如图所示.
∵BG∥AC,∴∠GBD=∠EAD.
在△GBD和△EAD中,
.
∴△GBD≌△EAD(ASA),
∴DG=DE,S△BDG=S△ADE.
∵DG=DE,∴S△DGF=S△DEF.
∵S△DGF≤S△BDG+S△BDF,
∴S△DEF≤S△ADE+S△BDF.
∵BG∥AC,∴∠GBD=∠EAD.
在△GBD和△EAD中,
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∴△GBD≌△EAD(ASA),
∴DG=DE,S△BDG=S△ADE.
∵DG=DE,∴S△DGF=S△DEF.
∵S△DGF≤S△BDG+S△BDF,
∴S△DEF≤S△ADE+S△BDF.
过点B作BG∥AC,交ED的延长线于点G,连接GF,易证△GBD≌△EAD,从而得到DG=DE,S△BDG=S△ADE.由DG=DE可得S△DGF=S△DEF.然后利用S△DGF≤S△BDG+S△BDF就可解决问题.
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