题目

已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx（k∈R）为偶函数
1 求k的值
2 a≥1时,若方程f(x)=log4(a*2^x-a)有且只有一个根,求实数a的取值范围.

提问时间：2020-10-18

答案

先求K,根据f(x)=log4(4^x+1)+kx是偶函数,得到f(x)＝f(－x)
即 log4(4^x+1)+kx＝log4[1/(4^x)+1]－kx 可得出k＝－1/2
再 求实数a的取值范围
由f(x)与h(x)图象只有一个公共点 即：y=f(x)－h(x)有且只有一个零点 则log4(4^x+1)+kx＝log4(a*2^x-4a/3)
由h(x)定义域有：a*(2^x-4/3)>0,当x＞log2(4/3)时,a＞0
当x＜log2(4/3)时,a＜0
下面验证是否只有一个解并求出该
为了使 f(x)＝h(x) （为书写简化先设2^x=t ）
即 (a-1)t^2－4a/3t－1＝0 （*）
为了使 t＝2^x 有且只有一个解,（*）中必须满足△=b^2－4ac=0 此时f(x)=h(x) 的唯一解为 t=2^x=－b/(2a)
即 当16/9a^2+4(a-1)=0 时 f(x)=h(x) 有唯一解 得 a1=－3 对应的唯一解为 t=2^x={4a/3} / {2(a-1)}=1/2 也即 x＝ －1
或者a2＝3/4 对应的唯一解为 t=2^x={4a/3} / {2(a-1)}=－2 即 x＝log2(－2) 应舍去
综上所述：当且仅当a＝-3时,有且只有一个零点,且该解为x＝ －1