题目

求函数 y=cosX(sinX-2)的值域

提问时间：2020-10-18

答案

方法1：
将要用到的公式：Asinx + Bcosx = √(A² + B²) sin(x + θ),其中 tanθ = B/A ①
原式等价于 y(sinx - 2) = cosx
即 2y = ysinx - cosx 利用 ①
= √(y² + 1) sin(x - θ) 其中 tanθ = 1/y
因为 | sin(x - θ)| ≤ 1
即 | 2y / √(y² + 1) |≤ 1
4y² / (y² + 1) ≤ 1
3y² ≤ 1
| y |≤ 1/√3
y = cosX / (sinX-2)的值域为 [ - 1/√3,+ 1/√3 ]
方法2
令A = sinx B = cosx
则 下面关于A、B的方程组有解
Ay -B - 2y = 0 ①
A² + B² = 1 ②
其几何意义是：直线①和圆②相交,所以,圆②的中心(0,0)到直线①的距离小于半径 1
即：| 2y | / √(y² + 1) ≤1 ------------------后面省略
方法3,我自己凑的方法,不建议使用,因为结果并不明显嘛
由于 ± 1/√3 是抛物线方程 f(t) = t² - 1/3 = 0 的两个根,
只要能够证明 f(y) ≤ 0 ,就说明 y = cosX / (sinX-2) 将介于其两根之间,→你画个图就知道了
f(y) = y² - 1/3 = [cosX / (sinX-2)]² - 1/3 = .略...= - (2sinx - 1)² / [3(sinX-2)²] ≤ 0
Game is over!
方法4：算了,不做了,还有很多