已知椭圆C：x216+y29=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程． - 超级试练试题库

题目

已知椭圆C：

提问时间：2020-10-18

答案

设弦中点为M（x，y），交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．
∴（y₂-y₁）（x-1）=（x₂-x₁）（y-2），①
由

x12

y12

=1，

x22

y22

=1两式相减得

(x1−x2) (x1+x2)

(y1−y2) (y1+y2)

=0．
又x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴

2x(x1−x2)

2y(y1−y2)

，②
由①②可得：9x²+16y²-9x-32y=0，③
当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2）适合方程③，
∴弦中点的轨迹方程为：9x²+16y²-9x-32y=0．

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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