题目

证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线之和
假设你只有初中的知识,只用几何法证明,谢谢.

提问时间：2020-10-16

答案

证明：如图

过A,D两点做BC边的高,垂足分别为E、F

则易知△ABE≌△DCF

      BE=CF,AE=DF

利用勾股定理得

BD²=BF²+DF²

BD²=（BC+CF）²+DF²

=BC²+2*BC*CF+CF²+DF²

AC²=AE²+CE²

=AE²+（BC-BE）²

=AE²+BC²-2*BC*BE+BE²

所以BD²+AC²=（BC²+2*BC*CF+CF²+DF²）+（AE²+BC²-2*BC*BE+BE²）

=2*BC²+2（CF²+DF²）

=2*BC²+2*CD²

=BC²+AD²+AB²+CD²

即

BD²+AC²=BC²+AD²+AB²+CD²