题目

过椭圆x^2+4y^2=4的左焦点的各弦中点的轨迹方程
各位大侠,帮忙解决一下吧!

提问时间：2020-10-18

答案

假设此弦与椭圆的两交点坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),分别代入椭圆方程中,得
x1^2+4y1^2=4和x2^2+4y2^2=4
两式相减,得
(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
两边同时除以2(x1-x2),得
(x1+x2)/2+4[(y1+y2)/2][(y1-y2)/(x1-x2)]=0
式中(x1+x2)/2和(y1+y2)/2分别为各弦中点的横纵坐标,可分别用x和y表示.
式中(y1-y2)/(x1-x2)为此弦的斜率,可用K表示
则原式可写成x+4ky=0,另写成k=-x/(4y)
此弦经过左焦点(-根3,0),故斜率k还可表示成
k=(y-0)/(x+根3)
两个k相等,故有-x/(4y)=(y-0)/(x+根3)
整理,得轨迹方程为
x^2+根3*x+4y^2=0