题目

已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：以AB为直径的圆过坐标系的原点O；
（2）当△OAB的面积等于

10

时，求k的值．

提问时间：2020-10-18

答案

（1）证明：由题意可得方程组

y2=-x y=k(x+1)

，
消去x可得ky²+y-k=0，
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）由韦达定理可得y₁•y₂=-1，
∵A、B在抛物线y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²y₂²=x₁x₂，
∵k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=

1

y1y2

=-1；
∴OA⊥OB，
故以AB为直径的圆过坐标系的原点O．
（2） 设直线与x轴交于N，又k≠0，
∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0），
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△ONB
=

1

2

•|ON|•|y1|+

1

2

•|ON|•|y2|
=

1

2

|ON|•|y1-y2|，
∴S_△OAB=

1

2

×1×

(y1+y2)2-4y 1y2

=

1

2

•

( 1 k )2+4

=

10

，
解得k=±

1

6

．

（1）利用直线与抛物线联立方程组，通过韦达定理，推出AN两点纵横坐标的关系，求出OA与OB的斜率乘积等于-1，即可得到以AB为直径的圆过坐标系的原点O；
（2）设直线与x轴交于N，求出N（-1，0），利用S_△OAB=S_△OAN+S_△ONB，通过△OAB的面积等于

10

，即可求k的值．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；抛物线的简单性质．

考点点评：本题考查直线与抛物线的关系，韦达定理的应用，三角形面积的转化，考查计算能力，转化思想的应用．