题目

已知向量

m

＝(2sinx，2cosx)，

n

＝(

3

cosx，cosx)，f(x)＝

m

•

n

−1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的

1

2

，把所得到的图象再向左平移

π

6

单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，

π

8

]上的最小值．

提问时间：2020-10-18

答案

（1）依题意得，f（x）=m•n-1=3sin2x+cos2x+1-1=2sin（2x+π6），∴函数f（x）的最小正周期T=2π2=π，由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z）得：，kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z）∴f（x）的单调递增区间为[kπ-π3，...

（1）利用向量的坐标运算可求得f（x）=

m

•

n

-1=2sin（2x+

π

6

），从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）利用三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得y=g（x）的表达式，从而可求得在区间[0，

π

8

]上的最小值．

本题考点：平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，以向量的坐标运算为载体考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的性质，是三角中的综合题，属于中档题．