题目
设数列{an}满足:a1+2a2+3a3+…+nan=2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=n2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=n2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
提问时间:2020-10-18
答案
(1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n①,
∴n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1②
①-②得nan=2n-1,an=
(n≥2),在①中令n=1得a1=2,
∴an=
(2)∵bn=
.
则当n=1时,S1=2
∴当n≥2时,Sn=2+2×2+3×22+…+n×2n-1
则2Sn=4+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n
相减得Sn=n•2n-(2+22+23+…+2n-1)=(n-1)2n+2(n≥2)
又S1=2,符合Sn的形式,
∴Sn=(n-1)•2n+2(n∈N*)
∴n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1②
①-②得nan=2n-1,an=
2n−1 |
n |
∴an=
|
(2)∵bn=
|
则当n=1时,S1=2
∴当n≥2时,Sn=2+2×2+3×22+…+n×2n-1
则2Sn=4+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n
相减得Sn=n•2n-(2+22+23+…+2n-1)=(n-1)2n+2(n≥2)
又S1=2,符合Sn的形式,
∴Sn=(n-1)•2n+2(n∈N*)
(1)根据题意,可得a1+2a2+3a3++(n-1)an-1=2n-1,两者相减,可得数列{an}的通项公式.
(2)根据题意,求出bn的通项公式,继而求出数列{bn}的前n项和Sn.
(2)根据题意,求出bn的通项公式,继而求出数列{bn}的前n项和Sn.
数列递推式;数列的求和.
此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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