题目

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n+S_n=2n．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-2}为等比数列，并求出a_n；
（Ⅱ）设b_n=（2-n）（a_n-2），求{b_n}的最大项．

提问时间：2020-10-17

答案

（Ⅰ）证明：由a₁+s₁=2a₁=2得a₁=1；
由a_n+S_n=2n得
a_n+1+S_n+1=2（n+1）
两式相减得2a_n+1-a_n=2，即2a_n+1-4=a_n-2，即a_n+1-2=

1

2

（a_n-2）
是首项为a₁-2=-1，公比为

1

2

的等比数列．故a_n-2=-(

1

2

)n−1，故a_n=2-(

1

2

)n−1，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn＝(2−n)•(−1)•(

1

2

)n−1＝(n−2)•(

1

2

)n−1
由bn+1−bn＝

n−1

2n

−

n−2

2n−1

＝

n−1−2n+4

2n

＝

3−n

2n

≥0得n≤3
由b_n+1-b_n＜0得n＞3，所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n
故b_n的最大项为b3＝b4＝

1

4

．