题目

1.已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这3个数
2.三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,这三个数的和为6,求这三个数

提问时间：2020-10-17

答案

1
设公比为K, 设三个数分别是（a/k), a, ka
那它们的积就是（a/k）* a * ka = a^3 = 27
所以 a = 3
平方和： (3/k)^2+3^2+(k3)^2 = 91
化简：9k^4-82k^2+9 = 0 => k^2 = 9
所以：k=3 或者 k=-3
所以这三个数可能是-1,3,-9 或者1,3,9
2
若公差为n,同样设三个数：a-n,a,a+n
和为6：a-n+a+a+n=6 => a=2
分类讨论：
i）
如果a-n为等比数列中项,那么 (a-n)^2 = a*(a+n)
化简：6n=n^2 (n!=0) 所以 n=6
那这三个数分别是-4,2,8
ii）
如果a为等比中项,那么a^2=(a-n)(a+n)
化简：n^2 = 0 => n=0 不符合,舍去
iii）
如果a+n为等比中项, 那么(a+n)^2=a*(a-n)
化简：n^2=-6n (n!=0) 所以 n=-6
那这三个数分别是 8,2,-4
讨论完毕