题目

已知双曲线3x^-y^=3,且双曲线上存在关于直线L：y=kx+4的对称点,求实数k的取值范围?谢谢你~

提问时间：2020-10-17

答案

设关于L对称的两个双曲线上的点为P(x1,y1),Q(x2,y2)
则根据对称的定义,可知：线段PQ被直线L垂直平分
由PQ⊥L
可知kPQ=-1/kL=-1/k
因此可设直线PQ的方程为：y=(-1/k)*x+b
联立直线PQ与双曲线：3x^-y^=1的方程,消去y,可得到关于x的一元二次方程：
(3k^-1)x^ +2bkx-(b^+3)k^=0
（当3k^-1=0,即k=±√3/3时,方程为一元一次方程,说明直线PQ与双曲线只有一个交点,必然不可能满足存在对称点的条件,故k=±√3/3不符合题意 ,k≠±√3/3,3k^-1≠0 ）
此方程的两个实根必为P,Q这两个直线PQ与双曲线交点的横坐标x1,x2
由韦达定理有：
x1+x2=-2bk/(3k^-1) ①
而此方程要有两个不等的实根x1,x2,必然要使：
△=(2bk)^-4*(3k^-1)*[-(b^+3)k^]>0
化简后即：k^b^+（3k^-1）>0 ②
P,Q两点代入所设的直线PQ的方程有：
y1=(-1/k)x1+b
y2=(-1/k)x2+b
于是：
y1+y2=(-1/k)*(x1+x2)+2b
将①代入：
y1+y2=6bk^/(3k^-1) ③
由刚才已知的L是线段PQ的中垂线,可知,PQ的中点M必在直线L上,而PQ中点M根据中点坐标公式可得：
M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
代入①,③式,可得：
M（-bk/(3k^-1),3bk^/(3k^-1)）
而M点在直线L:y=kx+4上,可将其带入方程两侧替换x,y的位置,进行化简,并最终可得到关于k和b的关系式为：
bk^=3k^-1
当k=0时,显然等式不成立,故k不能为0,k≠0 ※
∴有:b=(3k^-1)/k^ ④
将其带入②,并作出化简,最终可得：
(3k^-1)(4k^-1)>0
k^>1/3或k^√3/3或k