题目

实数a,b,c成等差数列,点P(-1,0)在ax+by+c=0上的射影是Q,则Q的轨迹方程是
答案是x^2+(y+1)^2=2
求解题过程

提问时间：2020-10-17

答案

设Q（x',y') 直线ax+by+c=0为直线L
∵Q为P在直线L上的射影
∴PQ⊥直线L
∴y'/(x'+1)=b/a ① (PQ和L的斜率互为负倒数）
又∵Q在直线L上
∴ax'+by'+c=0即y'=-（a/b）x'-c/b ②
将①带入②得：y'=-[（x'+1)/y']x'-c/b ③
∵a,b,c成等差数列
∴a+c=2b
∴a/b+c/b=2即-c/b=a/b-2 ④
将④带入③得：y'=-[（x'+1)/y']x'+a/b-2 ⑤
将①带入⑤得：y'=-[（x'+1)/y']x'+(x'+1)/y'-2
整理即得x²+(y+1)²=2