题目

设G为三角形ABC的重心,过点G作直线分别交AB、AC于P、Q,已知向量AP＝λ向量AB,
向量AQ＝μ向量AC,求1／λ＋1／μ

提问时间：2020-10-17

答案

要解这个题目,首先要知道,由平面向量基本定理可推出：当向量a和b不共线时,若实数λ和μ满足λ*a＋μ*b=0向量,则λ=μ=0.
此题：
设向量AB、AC分别为a、b,则AP＝λ*a,AQ＝μ*b,
延长AG,交BC于D,则向量AG=向量AD*2/3=（a+b）/3,
所以向量PG=向量AG-向量AP=（1/3-λ）*a+1/3*b,
同理向量QG=向量AG-向量AQ=1/3*a+（1/3--μ）*b,
又因为向量PG与向量QG共线,所以存在实数m使向量PG=m*向量QG,
即（1/3-λ）*a+1/3*b=m/3*a+m（1/3--μ）*b,
所以（1/3-λ-m/3）*a+（1/3-m/3+mμ）*b=向量0,
所以1/3-λ-m/3=0且1/3-m/3+mμ=0,
将前式化成m=1-3λ代入后式化简得：λ＋μ=3λ*μ,
两边同除以λ*μ得：1／λ＋1／μ=3.