题目

已知p,q为正整数,且q/p=1-1/2+1/3-1/4+...+1/1999-1/2000.求证：3001是q的约数.
帮忙啦!拜托啦!

提问时间：2020-10-16

答案

首先注意q/p=1-1/2+1/3-1/4+...+1/1999-1/2000=1+1/2+1/3+...+1/2000-(1+1/2+...+1/1000)=1/1001+1/1002+...+1/2000
两边同乘1001×1002×...×2000p得到
1001×1002×...×2000q=(1002×1003...×2000+1001×1003×...×2000+...+1001×1002×...×1999)p
又注意到1002×1003...×2000+1001×1003×...×2000+...+1001×1002×...×1999
=(1001+2000)×1002×1003×...×1999+(1002+1999)×1001×1003×...×1998×2000+...+(1500+1501)×1001×...×1499×1502×...×2000
=3001×(1002×1003×...×1999+1001×1003×...×1998×2000+...+1001×...×1499×1502×...×2000
)
是3001的倍数,因此1001×1002×...×2000q也是3001的倍数
而3001是质数,因此1001×1002×...×2000与3001互质,那么q是3001的倍数,即3001是q的约数.