题目

设a、b、c大于等于0,a+b+c=3求证：根号a+根号b+根号c大于等于ab+bc+ca

提问时间：2020-10-16

答案

法1
切线法
下证:a^2-3a+2(a)^0.5>=0,设t=(a)^0.5
即证明t*(t-1)^2*(t+2)>=0,显然.
故a^2+2(a)^0.5>=3a,b^2+2(b)^0.5>=3b,c^2+2(c)^0.5>=3c.
相加得2((a)^0.5+(b)^0.5+(c)^0.5)>=9-(a^2+b^2+c^2)
即根号a+根号b+根号c≥ab+bc+ac
法2
用柯西不等式
sqrta+sqrta+a^2>=3a
2(sqrta+sqrtb+sqrtc)>=(a+b+c）^2-a^2-b^2-c^2=2（ab+bc+ca）
此为 RUSSIA 2002
可推广到：a、b、c>0,求证(√a+√b+√c)^2·(a+b+c)^3≥27(ab+bc+ca)^2.
（当a+b+c=3时就是上面要证明的不等式)
sqrt即为根号