题目

线性代数：R(A)=R(AB)的充要条件.
还有一个问题,若A,B均不是0矩阵,条件能否简化?

提问时间：2020-10-16

答案

A为0阵,或,B为满秩矩阵《=》r（A）=r（AB）这个就是充要条件,没别的要求了
这里有几点要注意
1,B为满秩矩阵,要注意满秩矩阵的定义,只要是满秩矩阵必为方阵,而且是非零方阵.这个条件已经将B的所有条件都限定了,不需要额外加任何条件.
2,由于A行元素个数和B列元素个数相等才能进行矩阵乘法,所以在B为满秩矩阵情况下,必然有
r（B）》=r（A）,这个不需要特殊说明,必然成立.
说一下r（A）=0或r（B）=0时对上述表达的影响
A为0阵时,r（A）=r（AB）永远成立,但反推不一定成立,就是说,A=0是充分条件,不是充要条件
B为0阵时,r（A）=r（AB）不一定成立,反推也不一定成立,就是说B=0是既不充分也不必要条件
综上所述,A=0对表达有影响,B=0对表达没影响.
所以说,A、B均不为0时
B为满秩矩阵《=》r（A）=r（AB） 互为充要条件