题目

设A为n阶矩阵,证明r(A^n)=r(A^(n+1))
线性代数

提问时间：2020-10-16

答案

如果知道Jordan标准型的话就显然了.
如果不知道的话就证明A^{n+1}x=0和A^n x=0同
如果A非奇异则显然成立,否则利用
n-1 >= rank(A) >= rank(A^2) >= ... >= rank(A^n) >= rank(A^{n+1}) >=0
中间一定有两个相邻的项相等,即A^k x=0和A^{k+1}x=0同解,从而A^{n+1}x=0和A^n x=0同解.