题目
设集合A={(x,y)|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*},问是否存在非零整数a,使A∩B≠∅?若存在,请求出a的值;若不存在,说明理由.
提问时间:2020-10-16
答案
假设A∩B≠∅,则方程组
有正整数解,
消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.(*)
由△≥0,得(a+2)2-4a(a+1)≥0,解得-
≤a≤
.
因a为非零整数,∴a=±1,
当a=-1时,代入(*),解得x=0或x=-1,而x∈N*.故a≠-1.
当a=1时,代入(*),解得x=1或x=2,符合题意.
故存在a=1,使得A∩B≠∅,此时A∩B={(1,1),(2,3)}.
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消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.(*)
由△≥0,得(a+2)2-4a(a+1)≥0,解得-
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因a为非零整数,∴a=±1,
当a=-1时,代入(*),解得x=0或x=-1,而x∈N*.故a≠-1.
当a=1时,代入(*),解得x=1或x=2,符合题意.
故存在a=1,使得A∩B≠∅,此时A∩B={(1,1),(2,3)}.
假设A∩B≠∅,则方程组
有正整数解,消去y得x的二次方程,则由△≥0得a的范围,根据a为非零整数求得a值,在把a代入上述二次方程求出x进行检验即可.
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直线与圆锥曲线的关系.
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查方程思想,考查学生解决问题的能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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