题目

已知正项等比数列{a_n}，a₁=2，又b_n=log₂a_n，且数列{b_n}的前n项和为T_n，当且仅当n=7时T_n最大，则数列{a_n}的公比q的取值范围是______．

提问时间：2020-10-16

答案

设等比数列{a_n}的公比为q，
则b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n═log₂q
∴数列{b_n}是以log₂q为公差，以log₂a₁=1＞0为首项的等差数列，
其通项公式为b_n=1+（n-1）log₂q．
由于当且仅当n=7时T_n最大，
∴log₂q＜0，且b₇＞0，b₈＜0，
即

1+6log2q＞0 1+7log2q＜0

，
∴

log2q＞− 1 6 log2q＜− 1 7

，即−

1

6

＜log2q＜−

1

7

解得2−

1

6

＜q＜2−

1

7

，
故答案为：（2−

1

6

，2−

1

7

）

由b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n═log₂q，得出数列{b_n}是等差数列，由已知仅当n=7时T_n最大，通过解不等式b₇＞0，b₈＜0，求出公比q的取值范围即可．

本题考点：等比数列的性质．

考点点评：本题考查了等差数列的判定，前n项和最值情况．由条件得到b₇＞0，b₈＜0是解决本题的关键．